2010年中考数学压轴题和解析及复习策略

2010年中考数学压轴题和解析及复习策略
对中考数学卷，压轴题是考生最怕的，以为它一定很难，不敢碰它。其实，对历年中考的压轴题作一番分析，就会发现，其实也不是很难。这样，就能减轻做“压轴题”的心理压力，从中找到应对的办法。

　　压轴题难度有约定

　　历年中考，压轴题一般都由3个小题组成。第(1)题容易上手，得分率在0.8以上;第(2)题稍难，一般还是属于常规题型，得分率在0.6与0.7之间，第(3)题较难，能力要求较高，但得分率也大多在0.3与0.4之间。

近十年来，最后小题的得分率在0.3以下的情况，只是偶尔发生，但一旦发生，就会引起各方关注。控制压轴题的难度已成为各届命题组的共识，“起点低，坡度缓，尾巴略翘”已成为上海数学试卷设计的一大特色，以往上海卷的压轴题大多不偏不怪，得分率稳定在0.5与0.6之间，即考生的平均得分在7分或8分。由此可见，压轴题也并不可怕。

　　决不靠猜题和押题

　　压轴题一般都是代数与几何的综合题，很多年来都是以函数和几何图形的综合作为主要方式，用到三角形、四边形、相似形和圆的有关知识。如果以为这是构造压轴题的唯一方式那就错了。方程与图形的综合的几何问题也是常见的综合方式，如去年中考的第25(3)题，就是根据已知的几何条件列出代数方程而得解的，这类问题在外省市近年的中考试卷中也不乏其例。

动态几何问题中有一种新题型，如北京市去年的压轴题，在图形的变换过程中，探究图形中某些不变的因素，它把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起。在这类动态几何问题中，锐角三角比作为几何计算的一种工具，它的重要作用有可能在压轴题中初露头角。总之，压轴题有多种综合的方式，不要老是盯着某种方式，应对压轴题，决不能靠猜题、押题。

　　分析结构理清关系

　　解压轴题，要注意它的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“平列”的，还是“递进”的，这一点非常重要。如去年第25题的(1)、(2)、(3)三个小题是平列关系，它们分别以大题的已知为条件进行解题，(1)的结论与(2)的解题无关，(2)的结论与(3)的解题无关，整个大题由这三个小题“拼装”而成。又如2007年第25题，(1)、(2)两个小题是“递进关系”，(1)的结论由大题的已知条件证得，除已知外，(1)的结论又是解(2)所必要的条件之一。但(3)与(1)、(2)却是“平列关系”，(1)中，动点p在射线an上，而(3)根据已知，动点p在射线an上。它除了可能在射线an上，还可能在an的反向延长线上，或与点a重合。因此需要“分类讨论”。如果将(1)、(2)的结论作为条件解(3)，将会使你坠入“陷阱”，不能自拔。

　　应对策略必须抓牢

　　学生害怕“压轴题”，恐怕与“题海战术”有关。中考前，盲目地多做难题是有害的。从外省市中考卷或从前几年各区模拟考卷中选题时，特别要留意它是否超出今年中考的考查范围。有关部门已明确，拓展ii的教学内容不属于今年中考的范围，如代数中的“一元二次方程的根与系数的关系”、“用‘两根式’和‘顶点式’来求二次函数的解析式”、“二次函数的应用”等，几何中“圆的切线的判定和性质”、“四点共圆的性质和判定”等，因此这些内容不可能作为构造压轴题的“作料”。为了应对中考压轴题，教师可以根据实际，为学生精选一二十道，但不必强求一律，对有的学生可以只要求他做其中的第(1)题或第(2)题。盲目追“新”求“难”，忽视基础，用大量的复习时间去应付只占整卷10%的压轴题，结果必然是得不偿失。

事实证明：有相当一部分学生在压轴题的失分，并不是没有解题思路，而是错在非常基本的概念和简单的计算上，或是输在“审题”上，因此在最后总复习阶段，还是应当把功夫花在夯实基础、总结归纳上，老师要帮助学生打通思路，掌握方法，指导他们灵活运用知识。有经验的老师常常把压轴题分解为若干个“小综合题”，并进行剪裁与组合，或把外省市的某些较难的“填空题”，升格为“简答题”，把“熟题”变式为“陌生题”，让学生练习，花的时间虽不多，但能取得较好的效果。我认为：综合题的解题能力不能靠一时一日的“拔苗助长”而要靠日积月累的培养和训练。在总复习阶段，对大部分学生而言，放弃一些难题和大题，多做一些中档的变式题和小题，反而能使他们得益。

　　不要太受区考影响

　　从今年各区的统考试卷看，有的压轴题的综合度太大，以致命题者自己在“参考答案”中表达解题过程都要用去a4纸一页还多。为了应付中考压轴题，有的题拔高了对数学思想方法的考查要求，如有道题，(2)、(3)两题都要分好几种情况进行“分类讨论”，初中阶段只要求学生初步领会基本的数学思想方法。因此在 在中考中也只能在考查基础知识、基本技能和基本方法中有所渗透和体现而已，希望命题者手下留情，不要再打“擦边球”，搞“深挖洞”了。更希望今年中考数学卷能够控制住最后两题的难度，不要再“双压轴”了。
　　中考日渐临近，在数学总复习的最后阶段，如何有效应对“容易题”和“综合题”，提高复习的质量和效率呢？针对当前中考复习中普遍存在的倾向性问题，再提出一些看法和建议，供初三毕业班师生参考。　　基础题要重理解
　　在数学考卷中，“容易题”占80%，一般分布在第一、二大题(除第18题)和第三大题第19～23题。在中考复习最后阶段，适当进行“容易题”的操练，对提高中考成绩是有益的。但绝不要陷入“多多益善，盲目傻练”的误区，而要精选一些针对自己薄弱环节的题目进行有目的地练习。据笔者了解，不少学校在复习中存在忽视过程的倾向，解客观题，即使解其中较难的题时也都只要求写出结果，不要求写出过程，一些同学甚至错了也不去反思错在哪里，这样做，是非常有害的。笔者认为，即使是题解简单的填空题也应当注重理解，反思解题方法，掌握解题过程。解选择题也一样，不要只看选对还是选错，要反问自己选择的依据和理由是什么。
　　当然，我们要求注重理解，并不意味着不要记忆，记忆水平的考查在历年中考命题中均占有一定的比重。所以必要的记忆是必须的，如代数中重要的法则、公式、特殊角的三角比的值以及几何中常见图形的定义、性质和常用的重要定理等都是应当记住的。
　　在复习的最后阶段，笔者建议同学们适当多做一些考查基础的“容易题”，这样做，虽然花的时间不多，但能及时发现知识缺陷，有利于查漏补缺，亡羊补牢。如果你能真正把这些“容易题”做对、做好，使得分率达到0.9甚至达到0.95以上，那么在中考中取得高分并非难事。
　　压轴题要重分析
　　中考要取得高分，攻克最后两道综合题是关键。很多年来，中考都是以函数和几何图形的综合作为压轴题的主要形式，用到三角形、四边形、和圆的有关知识。如果以为这是构造压轴题的唯一方式那就错了。方程式与图形的综合也是常见的综合方式。这类问题在外省市近年的中考试卷中也不乏其例。动态几何问题又是一种新题型，在图形的变换过程中，探究图形中某些不变的因素，把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起。在这类问题中，往往把锐角三角比作为几何计算的一种工具。它的重要作用有可能在压轴题中初露头角。总之，应对压轴题，决不能靠猜题、押题。
　　解压轴题，要注意分析它的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是 “并列”的还是 “递进”的，这一点非常重要。一般说来，如果综合题(1)、(2)、(3)小题是并列关系，它们分别以大题的已知为条件进行解题，(1)的结论与(2)的解题无关，同样(2)的结论与(3)的解题无关，整个大题由这三个小题“拼装”而成。如果是“递进”关系，(1)的结论又是解(2)所必要的条件之一，(3)与 (2)也是同样的关系。在有些较难的综合题里，这两种关系经常是兼而有之。
　　说实在，现在流行的“压轴题”，真是难为我们的学生了。从今年各区的统考试卷看，有的压轴题的综合度太大，以至命题者自己在“参考答案”中表达解题过程都要用去一页A4纸还多，为了应付中考压轴题，有的题任意拔高了对数学思想方法的考查要求，如有些综合题第(2)、(3)两小题都要分好几种情况进行“分类讨论”，太过分了。课程标准规定，在初中阶段只要求学生初步领会基本的数学思想方法。所以它在中考中也只能在考查基础知识、基本技能和基本方法中有所渗透和体现而已。希望命题者手下留情，不要以考查数学思想方法为名出难题，也不要再打“擦边球”，搞“深挖洞”了。笔者希望世博之年的中考数学卷能够将压轴题的难度从0.37、0.39基础上再下降一点，朝着得分率0.5左右靠拢，千万不要再“双压轴”了。
　　对一些在区统考的 “压轴题”面前打了 “败仗”的同学，我劝大家一定要振奋起精神，不要因为这次统考的压轴题不会做或得分过低而垂头丧气，在临考前应当把提高信心和勇气放在首位。笔者建议在总复习最后阶段，不要花过多的精力做大量的综合题，只要精选二十道左右 (至多不超过三十道)，不同类型、不同结构的综合题进行分析和思考就足够了，如果没有思路，时间又不多，那么看一遍别人的解答也好。教师对不同的学生，不必强求一律，对有的学生可以只要求他做其中的第 (1)题或第 (2)题。盲目追 “新”求 “难”，忽视基础，用大量的复习时间去应付只占整卷10%的压轴题，其结果必然是得不偿失。事实证明：有相当一部分学生在压轴题的失分，并不是没有解题思路，而是错在非常基本的概念和简单的计算上，或是输在 “审题”上。应当把功夫花在夯实基础、总结归纳、打通思路、总结规律、提高分析能力上。笔者建议，同学们可以试着把一些中考压轴题分解为若干个 “合题”，进行剪裁和组合，或把一些较难的 “填空题”，升格为“简答题”，把一些 “熟题”变式为“陌生题”让学生进行练习。这样做，花的时间不多，却能取得比较理想的效果，并且还能使学生的思路 “活”起来，逐步达到遇到问题会分析，碰到沟坎，会灵活运用已经学过的知识去解决这样的较高水平。
　　总之，笔者以为在总复习阶段，对大部分学生而言，要有所为又要有所不为，有时放弃一些难题和大题，多做一些中档的变式题和小题，反而能使他们得益。当然，我们强调变式，不是乱变花样。其目的是促进对标准形式和基本图形的进一步认识和掌握。






2009年浙江省嘉兴市)24．如图，已知A、B是线段MN上的两点， ， ， ．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设 ．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？
24．（1）在△ABC中，∵ ， ， ．
∴ ，解得 ．　 4分
（2）①若AC为斜边，则 ，即 ，无解．
②若AB为斜边，则 ，解得 ，满足 ．
③若BC为斜边，则 ，解得 ，满足 ．
∴ 或 ．　 9分
（3）在△ABC中，作 于D，
设 ，△ABC的面积为S，则 ．
①若点D在线段AB上，
则 ．
∴ ，即 ．
∴ ，即 ．
∴  （ ）．　 11分
当 时（满足 ）， 取最大值 ，从而S取最大值 ． 13分
②若点D在线段MA上，
则 ．
同理可得，
（ ），
易知此时 ．
综合①②得，△ABC的最大面积为 ． 14分（2009年浙江省湖州市）
24．（本小题12分）
已知抛物线 （ ）与 轴相交于点 ，顶点为 .直线 分别与 轴， 轴相交于 两点，并且与直线 相交于点 .
(1)填空：试用含 的代数式分别表示点 与 的坐标，则 ；
(2)如图，将 沿 轴翻折，若点 的对应点 ′恰好落在抛物线上， ′与 轴交于点 ，连结 ，求 的值和四边形 的面积；
(3)在抛物线 （ ）上是否存在一点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 点的坐标；若不存在，试说明理由.




四、自选题：（本题5分）
请注意：本题为自选题，供考生选做，自选题得分将计入本学科总分，但考试总分最多为120分.
25．若P为 所在平面上一点，且 ，则点 叫做 的费马点.
（1）若点 为锐角 的费马点，且 ，则 的值为________；
（2）如图，在锐角 外侧作等边 ′连结 ′.
求证： ′过 的费马点 ，且 ′= .
24.（本小题12分）



（1） .……………4分
（2）由题意得点 与点 ′关于 轴对称，  ，
将 ′的坐标代入 得 ，
（不合题意，舍去）， .……………2分
， 点 到 轴的距离为3.
，   ， 直线 的解析式为 ，
它与 轴的交点为 点 到 轴的距离为 .
.……………2分
（3）当点 在 轴的左侧时，若 是平行四边形，则 平行且等于 ，
把 向上平移 个单位得到 ，坐标为 ，代入抛物线的解析式，
得：
（不舍题意，舍去）， ，
.……………2分
当点 在 轴的右侧时，若 是平行四边形，则 与 互相平分，
．
  与 关于原点对称， ，
将 点坐标代入抛物线解析式得： ，
（不合题意，舍去）， ， ．……………2分
存在这样的点 或 ，能使得以 为顶点的四边形是平行四边形．
四、自选题（本题5分）
25．（1）2 . ……………2分
（2）证明：在 上取点 ，使 ，
连结 ，再在 上截取 ，连结 ．

，
为正三角形，……………1分
= ，
为正三角形，
  = ，
= ，
′，
  ．
  ，
，
为 的费马点，
过 的费马点 ，且 = + ．……………2分
(2009年甘肃省兰州市)29.（本题满分9分）如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），   
点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，   
同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，   
设运动的时间为t秒．
(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标 （长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
(2)求正方形边长及顶点C的坐标；
(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

29. （本题满分9分）
解：（1） （1，0） 1分
点P运动速度每秒钟1个单位长度． 2分
（2） 过点 作BF⊥y轴于点 ， ⊥ 轴于点 ，则 ＝8， ．
  ∴ ．
在Rt△AFB中，                   3分
过点 作 ⊥ 轴于点 ，与 的延长线交于点 ．
∵  ∴△ABF≌△BCH．
∴ ．
∴ ．
∴所求C点的坐标为（14，12）．                       4分
（3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥ 轴于点N，
则△APM∽△ABF．
∴ ．    ．
∴ ．   ∴ ．
设△OPQ的面积为 （平方单位）
∴ （0≤ ≤10）  5分
说明:未注明自变量的取值范围不扣分．
∵ <0   ∴当 时， △OPQ的面积最大． 6分
此时P的坐标为（ ， ） ． 7分
（4）  当  或 时，  OP与PQ相等． 9分
对一个加1分，不需写求解过程