北京四中2010年高二期末理数测试卷及答案

高二数学 期末测试卷(理)

试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分，满分共计150分

考试时间：120分钟

卷（I）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分

1．椭圆 的焦距等于（      ） D

A．
B．
C．

D．

2．“ ”是“直线 平行于直线 ”的（    ）A

A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件

C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3．空间中，若向量 、 、 共面，则向量 的长度为（ C
）

A．
B．
C．
D．

4．圆 与直线 相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是(
)A

A．     　　 B．
C． 　　 D．

5．若双曲线 的焦点为 ，离心率为 ，则双曲线的渐进线方程为（    ）B

A．
B．
C．

D．

6．棱长为 的正方体 中，顶点
到平面 间的距离（
C
）

A．

B．
C ．

D．

7．直线 经过椭圆 的一个焦点和一个顶点，该椭圆的离心率等于（         ）D

A．
B．

C．

D．

8．矩形 中， ， ， ， ，那么二面角 的大小为（
B
）.

A．
B．

C．

D．

9．抛物线 上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（     ）
C

A．
B．
C．
D．

10．直三棱柱 中， ，点 ， 分别是 ， 的中点， ，则 与 所成角的余弦值为（     ）. A

A．

B．

C．

D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

11．二面角 的大小为 ， 为异面直线，若 ，则 所成的角为____________。

12．若经过点 的双曲线C与椭圆 有相同的焦点，则双曲线C的方程为____________。

13．抛物线 上的点到直线 距离的最小值是__________。

14．正方体 中，给出下列四个命题：

       ① ；

       ② ；

       ③ 和 的夹角为 ；

④正方体的体积为 。 其中所有错误命题的序号为____________。 ④

三．解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

15．已知：抛物线 ，直线 ： 与抛物线 交于 两个点，

求： 的面积（ 为坐标原点）。

解：抛物线 的焦点 在直线 上，

由抛物线的定义： ，

，则

∵ ，∴ 。

16．已知：直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点，

（1）求证：AC⊥BC1；

（2）求证：AC 1//平面CDB1。

方法一：证明：（1）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴ AC⊥BC，

∵CC1⊥底面ABC，∴BC1在平面ABC内的射影为BC，

∴ AC⊥BC1。

（2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE。

∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，∴ DE//AC1，

∵ DE 平面CDB1，AC1 平面CDB1，

∴ AC1//平面CDB1。

方法二：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴ AC⊥BC，

即：AC、BC、CC1两两垂直，则以CA、CB、CC1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则 、 、 、 、 、 、

（1） ， ，∵ ，∴ 。∴AC⊥BC1；

（2） ， ， ，

∵ ，∴ 与 共面，∴AC 1//平面CDB1。

17．已知：双曲线 的左、右两个焦点分别为 、 ，动点 满足 。

（1）求：动点 的轨迹 的方程；

（2）若 、 分别为（1）中曲线 的左、右焦点， 是曲线 上的一个动点，

求： 的最大值和最小值。

解：（1）双曲线 的焦点分别为 、 ，

∵ ，

∴动点 的轨迹 是以 、 为焦点，长轴长为4的椭圆，

其方程为： ；

（2）设： ，且 （ ），椭圆 的焦点

则

∴当 时， 最大值为1，当 时， 最小值为 2。

卷（Ⅱ）

一．选择题：

1．直线m、n和平面 、 .下列四个命题中，

（1）若m∥ ,n∥ ,则m∥n；     （2）若m ,n ,m∥ ,n∥ ,则 ∥ ；

（3）若 ，m ,则m ；  （4）若 ，m ，m ,则m∥ ，

其中正确命题的个数是( B )

A．0
B．1
C．2
D．3

2．椭圆 的左、右焦点为 、 ，若直线 上存在点 使线段 的中垂线经过点 ，则椭圆的离心率的取值范围是（     ）
B

A．
B．
C．
D．

3．三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（ C
）

A．

B．


C．

D．

二．填空题:

4．正三角形 中，若点 、 分别为 、 的中点，则以 、 为焦点，且过点 、 的双曲线的离心率为__________。

5．以椭圆 的中心为顶点，上焦点为焦点的抛物线方程是                 。

6．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是           9

N

F

A

D

B

C

x

y

z

A1

D1

B1

C1

E

M

7．已知：正方体 中，棱长 ， 、 分别为 、 的中点， 、 是 、 的中点，

（1）求证： //平面 ；

（2）求： 到平面 的距离。

解：以 、 、 为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

8．已知： 、 是抛物线 上异于原点 的两点，且 ，

求证：直线 恒过定点 。

证明：设直线 ： ，则直线 ：

，同理得到

（1）当 时， 、 两点坐标为 ， ，则直线 过定点 ；

（2）当 时， ，则直线 ：

       整理得 ，则直线 过定点 ，

由（1）（2）知：直线 恒过定点 。