2015年湖南高考数学专练:导数的简单应用

　　2015年湖南高考数学专练:导数的简单应用

　　一、选择题

　　1.下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是(　　)

　　答案：C　命题立意：本题考查导数在研究函数单调性上的应用，难度中等.

　　解题思路：依次判断各个选项，易知选项C中两图象在第一象限部分，不论哪一个作为导函数的图象，其值均为正值，故相应函数应为增函数，但相反另一函数图象不符合单调性，即C选项一定不正确.

　　2.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(e)+ln x，则f′(e)=(　　)

　　A.1　　　　B.-1　　　C.-e-1　　D.-e

　　答案：C　命题立意：本题考查函数的导数的求法与赋值法，难度中等.

　　解题思路：依题意得，f′(x)=2f′(e)+，取x=e得f′(e)=2f′(e)+，由此解得f′(e)=-=-e-1，故选C.

　　3.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则其导函数y=f′(x)的图象可能是(　　)

　　A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D

　　答案：A　命题立意：本题考查函数的性质，难度较小.

　　解题思路：函数f(x)的图象自左向右看，在y轴左侧，依次是增、减、增;在(0，+∞)上是减函数.因此，f′(x)的值在y轴左侧，依次是正、负、正，在(0，+∞)上的取值恒非正，故选A.

　　4.已知f′(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且f(x)=f(5-x)，f′(x)<0.若x1

　　A.f(x1)f(x2)

　　C.f(x1)+f(x2)<0 D.f(x1)+f(x2)>0

　　答案：B　命题立意：本题主要考查函数的性质，意在考查考生的逻辑思维能力.

　　解题思路：依题意得，当x<时，f′(x)<0，则函数f(x)在上是减函数.当x1f(x2);若x2≥，则由x1+x2<5得x1<5-x2≤，此时有f(x1)>f(5-x2)=f(x2).综上所述，f(x1)>f(x2)，故选B.

　　5.已知f(x)=x2+2xf′(1)，则f′(0)等于(　　)

　　A.0 B.-4 C.-2 D.2

　　答案：B　解题思路：本题考查导数知识的运用.由题意f′(x)=2x+2f′(1)， f′(1)=2+2f′(1)，即f′(1)=-2，

　　f′(x)=2x-4， f′(0)=-4.

　　技巧点拨：解决本题的关键是利用导数求出f′(1)的值.

　　6.已知函数f(x)的导数为f′(x)=4x3-4x，且f(x)的图象过点(0，-5)，当函数f(x)取得极大值-5时，x的值应为(　　)

　　A.-1 B.0 C.1 D.±1

　　答案：B　解题思路：可以求出f(x)=x4-2x2+c，其中c为常数.由于f(x)过(0，-5)，所以c=-5，又由f′(x)=0，得极值点为x=0和x=±1.又x=0时，f(x)=-5，故x的值为0.

　　7.已知函数f(x)=x3-2ax2-3x(aR)，若函数f(x)的图象上点P(1，m)处的切线方程为3x-y+b=0，则m的值为(　　)

　　A.- B.- C. D.

　　答案：A　命题立意：本题主要考查导数的几何意义及切线方程的求法.求解时，先对函数f(x)求导，令x=1求出点P(1，m)处切线的斜率，进而求出a的值，再根据点P在函数f(x)的图象上即可求出m的值.

　　解题思路： f(x)=x3-2ax2-3x， f′(x)=2x2-4ax-3， 过点P(1，m)的切线斜率为k=f′(1)=-1-4a.又点P(1，m)处的切线方程为3x-y+b=0，

　　-1-4a=3， a=-1， f(x)=x3+2x2-3x.

　　又点P在函数f(x)的图象上， m=-.

　　8.已知函数y=f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当x>0，f(x)+xf′(x)>0(其中f′(x)是f(x)的导函数).设a=(log4)f(log4)，b=f()，c=?f，则a，b，c的大小关系是(　　)

　　A.c>a>b B.c>b>a

　　C.a>b>c D.a>c>b

　　答案：C　思路点拨：令函数F(x)=xf(x)，则函数F(x)=xf(x)为偶函数.当x>0时，F′(x)=f(x)+xf′(x)>0，此时函数F(x)在(0，+∞)上单调递增，则a=F(log4)=F(-log24)=F(-2)=F(2)，b=F()，c=F=F(-lg 5)=F(lg 5)，因为0b>c，故选C.

　　9.在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)=ex(x>0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是(　　)

　　A. B.

　　C.e+ D.e-

　　答案：A　解题思路：二、填空题

　　10.已知函数f(x)=ex-ae-x，若f′(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________.

　　答案：[3，+∞)　命题立意：本题考查导数的运算及不等式恒成立一类问题的解答方法，正确地分离变量是解答本题的关键，难度中等.

　　解题思路：据题意有f′(x)=ex+ae-x≥2，分离变量得a≥(2-ex)ex=-(ex-)2+3，由于(2-ex)ex=-(ex-)2+3≤3，故若使不等式恒成立，只需a≥3即可.

　　11.已知aR，函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数是偶函数，则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为________.

　　答案：3x+y=0　命题立意：本题主要考查导数的求法、奇偶性的定义、导数的几何意义与直线的方程等基础知识，意在考查考生的基本运算能力.

　　解题思路：依题意得，f′(x)=3x2+2ax+(a-3)是偶函数，则2a=0，即a=0，f′(x)=3x2-3，f′(0)=-3，因此曲线y=f(x)在原点处的切线方程是y=-3x，即3x+y=0.

　　12.已知函数f(x)=axsin x-(aR)，若对x，f(x)的最大值为，则

　　(1)a的值为________;

　　(2)函数f(x)在(0，π)内的零点个数为________.

　　答案：(1)1　(2)2　命题立意：本题考查导数的应用以及函数零点，难度中等.

　　解题思路：利用导数确定函数单调性，再利用数形结合求零点个数.因为f′(x)=a(sin x+xcos x)，当a≤0时，f(x)在x上单调递减，最大值f(0)=-，不适合题意，所以a>0，此时f(x)在x上单调递增，最大值f=a-=，解得a=1，符合题意，故a=1.f(x)=xsin x-在x(0，π)上的零点个数即为函数y=sin x，y=的图象在x(0，π)上的交点个数，又x=时，sin =1>>0，所以两图象在x(0，π)内有2个交点，即f(x)=xsin x-在x(0，π)上的零点个数是2.

　　13.已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点(，an+1)(nN*)在函数y=x3+x的导函数的图象上.数列{bn}满足bn=(nN*).则数列{bn}的前n项和Sn为________.

　　答案：　命题立意：本题主要考查多项式函数的求导方法，等差数列的概念、通项公式以及数列求和方法等基础知识，考查学生的运算能力和综合运用知识分析、解决问题的能力.

　　解题思路：由已知得an+1=an+1， 数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列， an=n，bn===-(nN*)，Sn=1-+-+…+-=1-=(nN*).

　　B组

　　一、选择题

　　1.已知曲线f(x)=ln x在点(x0，f(x0))处的切线经过点(0，-1)，则x0的值为(　　)

　　A. B.1 C.e D.10

　　答案：B　命题立意：本题主要考查导数的几何意义、直线的方程等基础知识，意在考查考生的基本运算能力.

　　解题思路：依题意得，题中的切线方程是y-ln x0=(x-x0);又该切线经过点(0，-1)，于是有-1-ln x0=(-x0)，由此得ln x0=0，x0=1，故选B.

　　2.已知函数f(x)=+1，g(x)=aln x，若在x=处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为(　　)

　　A. B.

　　C.1 D.4

　　答案：A　命题立意：本题主要考查导数的概念与曲线切线的求解，考查思维的严谨性，应注意检验.

　　解题思路：由题意可知f′(x)=x，g′(x)=，由f′=g′，得=，可得a=，经检验，a=满足题意.

　　3.若函数f(x)=-x2+bln(x+2)在[-1，+∞)上是减函数，则b的取值范围是(　　)

　　A.[-1，+∞) B.(-1，+∞)

　　C.(-∞，-1] D.(-∞，-1)

　　答案：C　解题思路：函数f(x)的导数f′(x)=-x+，要使函数f(x)在[-1，+∞)上是减函数，则f′(x)=-x+≤0在[-1，+∞)上恒成立，即≤x在[-1，+∞)上恒成立，因为x≥-1，所以x+2≥1>0，即b≤x(x+2)在[-1，+∞)上恒成立.设y=x(x+2)，则y=x2+2x=(x+1)2-1，因为x≥-1，所以y≥-1，所以要使b≤x(x+2)在[-1，+∞)上恒成立，则有b≤-1，故选C.

　　4.如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象，函数g(x)=ex-f′(x)的零点所在的区间是(k，k+1)(kZ)，则k的值为(　　)

　　A.-1或0 B.0

　　C.-1或1 D.0或1

　　答案：C　解题思路：由二次函数f(x)的图象及函数f(x)两个零点的位置可知其对称轴x=-，解得10，g(0)=1-a<0，g(1)=e-2-a<0，g(2)=e2-4-a>0，函数g(x)的两个零点x1(-1,0)和x2(1,2)，故k=-1或1.

　　5.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有(　　)

　　A.1个 B.2个

　　C.3个 D.4个

　　答案：B　命题立意：本题主要考查函数的导数与极值间的关系，意在考查考生的推理能力.

　　解题思路：依题意，记函数y=f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a0;当x1

　　6.若曲线y=x2+aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点坐标为(　　)

　　A.(1,1) B.(2,3)

　　C.(3,1) D.(1,4)

　　答案：A　命题立意：本题考查导数的几何意义和基本不等式等相关知识.根据函数的导数取得的最小值可以求出a，以及取得最小值时的条件，这个条件就是所求的值.运用导数知识解决相应的几何切线问题是新课标高考考查的热点，导数不仅在选择题、填空题中经常考查，在解答题中也常和函数的单调性、极值等问题一起出现.

　　解题思路：y=x2+aln x的定义域为(0，+∞)，由导数的几何意义知y′=2x+≥2=4，解得a=2，等号成立的条件是x=1，代入曲线方程得y=1，故所求的切点坐标是(1,1).

　　7.如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象，则函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是(　　)

　　A.

　　B.

　　C.(1,2)

　　D.(2,3)

　　答案：B　解题思路：因为f(1)=0，则b=a+1，又f(0)=a，且00，g=ln +1-b<1-b<0，所以函数g(x)的零点在区间上，故选B.

　　8.曲线y=x2+bx+c在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则点P到该曲线对称轴距离的取值范围为(　　)

　　A.[0,1] B.

　　C. D.

　　答案：B　命题立意：本题考查二次函数的图象、性质及导数几何意义的综合应用，难度中等.

　　解题思路：利用导数的几何意义和二次函数的性质直接求解.由题意可得在点P处的切线的斜率的取值范围是[0,1]，即0≤2x0+b≤1，该曲线的对称轴方程是x=-，所以点P到该曲线的对称轴距离.

　　二、填空题

　　9.已知f(x)=x3-mx2+3mx+5在(1,4)上有两个极值点，则实数m的取值范围为________.

　　答案：　命题立意：本题主要考查函数的性质(零点与极值)、二次函数的图象与性质等基础知识，意在考查考生的运算能力.

　　解题思路：依题意，得f′(x)=3x2-2mx+3m=0在(1,4)上有两个不等的实根，于是有

　　解得9

　　即实数m的取值范围是9

　　10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<，则不等式f(x2)<+的解集为________.

　　答案：(-∞，-1)(1，+∞)　命题立意：本题主要考查构造法、函数的导数与函数的单调性间的关系及一元二次不等式的解法，意在考查考生应用所学知识解决问题的能力.

　　解题思路：记g(x)=f(x)-x-，则有g′(x)=f′(x)-<0，g(x)是R上的减函数，且g(1)=f(1)-×1-=0.不等式f(x2)<+，即f(x2)--<0，g(x2)<0=g(1)，由g(x)是R上的减函数得x2>1，解得x<-1或x>1，即不等式f(x2)<+的解集是(-∞，-1)(1，+∞).

　　11.已知函数f(x)的定义域为[-1,5]，部分对应值如下表：

　　x -1 0 2 4 5 y 1 2 0 2 1 f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示.

　　(1)f(x)的极小值为________;

　　(2)若函数y=f(x)-a有4个零点，则实数a的取值范围为________.

　　答案：(1)0　(2)[1,2)

　　解题思路：(1)由y=f′(x)的图象可知，

　　f(2)为f(x)的极小值，f(2)=0.

　　(2)y=f(x)的图象如图所示：

　　若函数y=f(x)-a有4个零点，则a的取值范围为1≤a<2.

　　12.关于函数f(x)=2x-(xR).有下列三个结论：f(x)的值域为R;f(x)是R上的增函数;f(x)的图象是中心对称图形.其中所有正确命题的序号是________.

　　答案：　命题立意：本题考查指数函数的性质，难度中等.

　　解题思路： 2x>0， 当2x→0时，f(x)→-∞，当2x→+∞时，f(x)→+∞，所以f(x)的值域为R，是正确的;由于g(x)=2x在定义域内是增函数，所以f(x)=2x-(xR)在定义域内也是增函数，所以是正确的;由于f(-x)=2-x-=-2x=-f(x)，所以函数的图象关于原点对称，是正确的.

　　13.若以曲线y=f(x)上任意一点M(x，y)为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点N(x1，y1)，以点N为切点作切线l1，且ll1，则称曲线y=f(x)具有“可平行性”.下列曲线具有可平行性的编号为________.(写出所有满足条件的函数的编号)

　　y=x3-x y=x+

　　y=sin x y=(x-2)2+ln x

　　答案：　命题立意：本题主要考查导数在函数中的应用，旨在考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力.

　　解题思路：由题意可知，对于函数定义域内的任意一个x值，总存在x1(x1≠x)使得f′(x1)=f′(x).对于，由f′(x1)=f′(x)可得x=x2，但当x=0时不符合题意，故不具有可平行性;对于，由f′(x1)=f′(x)可得=，此时对于定义域内的任意一个x值，总存在x1=-x，使得f′(x1)=f′(x);对于，由f′(x1)=f′(x)可得cos x1=cos x，x1=x+2kπ(kZ)，使得f′(x1)=f′(x);对于，由f′(x1)=f′(x)可得2(x1-2)+=2(x-2)+，整理得x1x=，但当x=时不符合题意.综上，答案为.