2015年湖南高考数学专练:直线与圆锥曲线的综合问题 一、选择题 1.抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是( ) A.4 B.3 C.4 D.8 答案：C 命题立意：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和考生的运算能力.根据已知条件中的直线的斜率和所经过的点F，写出直线方程，从而通过解方程组求出点A的坐标，得到三角形的底边长与高，计算出三角形的面积. 解题思路：由题意可知，抛物线的准线方程为x=-1，抛物线的焦点坐标为(1,0).直线AF的方程y=(x-1)，解方程组得或因为点A在x轴的上方，所以符合题意，即点A的坐标为(3，2)，|AK|=3+1=4，点F到直线AK的距离d即为点A的纵坐标2，因此SAKF=|AK|?d=4. 2.已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点相同，若以点F为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为( ) A.-x2=1 B.-y2=1 C.-=1 D.-=1 答案：D 解题思路：设双曲线C的方程为-=1(a>0，b>0)，而抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，即F(2,0)， 4=a2+b2.又圆F：(x-2)2+y2=2与双曲线C的渐近线y=±x相切，由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为=， a2=b2=2，故双曲线C的方程为-=1. 3.已知数列{an}的通项公式为an=(nN*)，其前n项和Sn=，则双曲线-=1的渐近线方程为( ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 答案：C 命题立意：本题主要考查裂项法求数列的前n项和与双曲线的性质等基础知识，意在考查考生的基本运算能力. 解题思路：依题意得an=-，因此Sn=1-==，n=9，故双曲线方程是-=1，该双曲线的渐近线方程是y=± x=±x，故选C. 4.如图所示，F1，F2是双曲线-=1(a>0，b>0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.+1 B.+1 C. D. 答案：B 命题立意：本题主要考查圆的性质与双曲线的性质等知识，意在考查考生的基本运算能力. 解题思路：连接AF1，依题意，得AF1AF2，又AF2F1=30°， |AF1|=c，|AF2|=c，因此该双曲线的离心率e===+1，故选B. 5.设e1，e2分别为具有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|+|=||，则 的值为( ) A. B.2 C. D.1 答案：A 解题思路：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，不妨设m>n.由|+|=||知，F1PF2=90°，则m2+n2=4c2， e1=，e2=，+==2，=. 二、填空题 6.若双曲线-=1渐近线上的一个动点P总在平面区域(x-m)2+y2≥16内，则实数m的取值范围是________. 答案：(-∞，-5][5，+∞) 命题立意：本题主要考查双曲线的简单几何性质，直线与圆的位置关系，考查等价转化思想，考查分析问题、解决问题的能力. 解题思路：问题等价于已知双曲线的渐近线4x±3y=0与圆相离或者相切，故实数m满足≥4，即m≥5或m≤-5. 7.已知双曲线的两条渐近线均和圆C：(x-1)2+y2=相切，且双曲线的右焦点为抛物线y2=4x的焦点，则该双曲线的标准方程为________. 答案：-y2=1 命题立意：本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程、几何性质，点到直线的距离公式以及基本量间的关系等. 解题思路：由题意可知双曲线中c=.设双曲线-=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为kx-y=0，根据圆心(1,0)到该直线的距离为半径，得k2=，即=.又a2+b2=()2，则a2=4，b2=1，所以所求的标准方程为-y2=1. 8.已知双曲线-=1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上且MF1MF2，则点M到x轴的距离为________. 答案： 命题立意：本题主要考查双曲线的几何性质，以及点到直线的距离，考查考生的运算求解能力. 解题思路：设M(x，y)，F1(-3,0)，F2(3,0)，则由MF1MF2，得(x+3)(x-3)+y2=0.又M在双曲线上，故可以解方程组y2=，故点M到x轴的距离为. 三、解答题 9.已知椭圆C：+=1(a>)的右焦点F在圆D：(x-2)2+y2=1上，直线l：x=my+3(m≠0)交椭圆于M，N两点. (1)求椭圆C的方程; (2)若(O为坐标原点)，求m的值; (3)设点N关于x轴的对称点为N1(N1与点M不重合)，且直线N1M与x轴交于点P，试问PMN的面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值;若不存在，请说明理由. 解析：(1)由题设知，圆D：(x-2)2+y2=1的圆心坐标是(2,0)，半径是1， 故圆D与x轴交于两点(3,0)，(1,0). 所以在椭圆中，c=3或c=1，又b2=3， 所以a2=12或a2=4(舍去， a>). 于是，椭圆C的方程为+=1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2). 直线l与椭圆C方程联立 化简并整理得(m2+4)y2+6my-3=0， y1+y2=，y1y2=. x1+x2=m(y1+y2)+6=. x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9 =++9=. ⊥，?=0， 即x1x2+y1y2=0，得=0. m2=，m=±. (3) M(x1，y1)，N1(x2，-y2)， 直线N1M的方程为=. 令y=0，则x=+x1= == ==4. P(4,0). 解法一：SPMN=|FP|?|y1-y2| =?1? = =2 =2 ≤2?=1. 当且仅当m2+1=3，即m=±时等号成立， 故PMN的面积存在最大值1. (或SPMN=2? =2?. 令t=， 则SPMN=2? =2?≤1. 当且仅当t=时等号成立，此时m2=2， 故PMN的面积存在最大值1.) 解法二：|MN|= = = =4?， 点P到直线l的距离为= . 所以SPMN=?? =2 =2. 令t=， SPMN=2 =2≤=1， 当且仅当t=时，此时m2=2， 故PMN的面积存在最大值，其最大值为1. 10.已知P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：-=1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足=λ+，求λ的值. 解析：(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线-=1上，有-=1. 由题意有?=，可得a2=5b2， c2=a2+b2=6b2，则e==. (2)联立得 4x2-10cx+35b2=0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 设=(x3，y3)，=λ+， 即 又C为双曲线上一点，即x-5y=5b2，有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2， 化简得λ2(x-5y)+(x-5y)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2. 又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上， 所以x-5y=5b2，x-5y=5b2. 由式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2， 得λ2+4λ=0，解出λ=0或λ=-4. 11.已知抛物线C：y2=x，过点A(x0,0)作直线l交抛物线于点P，Q(点P在第一象限). (1)当点A是抛物线C的焦点，且弦长|PQ|=2时，求直线l的方程; (2)设点Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于点B，且BPBQ.求证：点B的坐标是(-x0,0)，并求点B到直线l的距离d的取值范围. 解析：(1)由抛物线C：y2=x，得抛物线的焦点坐标为，设直线l的方程为x=ny+，P(x1，y1)，Q(x2，y2). 由得y2-ny-=0. 所以Δ=n2+1>0，y1+y2=n. 因为x1=ny1+，x2=ny2+， 所以|PQ|=x1++x2+=x1+x2+ =n(y1+y2)+1=2. 所以n2=1，即n=±1. 所以直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0. 即4x-4y-1=0或4x+4y-1=0. (2)设l：x=my+x0(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则M(x2，-y2). 由消去x，得y2-my-x0=0. 因为x0≥，所以Δ=m2+4x0>0， y1+y2=m，y1y2=-x0. 解法一：设B(xB,0)，则=(x2-xB，-y2)，=(x1-xB，y1). 由题意知， x2y1-y1xB=-x1y2+xBy2， 即(y1+y2)xB=x1y2+x2y1=yy2+yy1=(y1+y2)y1y2. 显然y1+y2=m≠0， xB=y1y2=-x0， B(-x0,0). 由题意知，MBQ为等腰直角三角形， kPB=1，即=1，也即=1， y1-y2=1， (y1+y2)2-4y1y2=1， 即m2+4x0=1， m2=1-4x0>0， x0<. x0≥， ≤x0<. d=== =. ∴ d的取值范围是. 解法二：因为直线l：y-y1=(x-x1)， 所以令y=0，则 x=x1-=x1- =x1-y+y1y2=-x0， B(-x0,0). 由题意知，MBQ为等腰直角三角形， kPB=1，即=1， y1-y2=1， (y1+y2)2-4y1y2=1， 即m2+4x0=1， m2=1-4x0. x0≥， 0 d=== = =. ∴ d的取值范围是. 12.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m，直线l与椭圆相交于A，B两个不同点. (1)求实数m的取值范围; (2)证明：直线MA，MB与x轴围成的三角形是等腰三角形. 解析：(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0)， 由题意得 ∴ 椭圆方程为+=1. 由题意可得直线l的方程为y=x+m(m≠0)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则点A，B的坐标是方程组的两组解. 消去y得x2+2mx+2m2-4=0. Δ=4m2-4(2m2-4)>0， -2 又 m≠0， 实数m的取值范围为(-2,0)(0,2). (2)证明：由题意可设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可， 由(1)得x2+2mx+2m2-4=0， x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4， k1+k2=+ = = ==0， 直线MA，MB与x轴围成的三角形是等腰三角形. |
