2015年北京高考数学章节专题1 1.角的单位制 (1)角度制：规定周角的____________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. (2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________. (3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：__________;这里α的正负由角α的______________决定.正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个______，零角的弧度数是____. 2.角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°=______ rad 2π rad=________ 180°=____ rad π rad=______ 1°=________rad ≈0.017 45 rad 1 rad=____________ ≈57.30°=57°18′ 3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角，则 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l=________ l=____ 扇形的面积 S=____ S=____=______ 一、选择题 1.集合A=与集合B=的关系是( ) A.A=B B.AB C.BA D.以上都不对 2.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A.2 B.sin 2 C. D.2sin 1 3.扇形周长为6 cm，面积为2 cm2，则其中心角的弧度数是( ) A.1或4 B.1或2 C.2或4 D.1或5 4.已知集合A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π，kZ}，B={α|-4≤α≤4}，则A∩B等于( ) A. B.{α|-4≤α≤π} C.{α|0≤α≤π} D.{α|-4≤α≤-π，或0≤α≤π} 5.把-π表示成θ+2kπ(kZ)的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A. B.- C.π D.-π 6.扇形圆心角为，半径长为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A.13 B.23 C.43 D.49 二、填空题 7.将-1 485°化为2kπ+α (0≤α<2π，kZ)的形式是________. 8.若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____. 9.若2π<α<4π，且α与-角的终边垂直，则α=______. 10.若角α的终边与角的终边关于直线y=x对称，且α(-4π，4π)，则α=________________. 三、解答题 11.把下列各角化成2kπ+α (0≤α<2π，kZ)的形式，并指出是第几象限角： (1)-1 500°;(2)π;(3)-4. 12.已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? 能力提升 13.已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________. 14.已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α=60°，R=10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积; (2)若扇形的周长是一定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积? 1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应. 2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°=π”这一关系式.易知：度数×=弧度数，弧度数×=度数. 3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.§3 弧度制知识梳理 1.(1) (2)半径长 1 rad (3)|α|= 终边的旋转方向 正数 负数 0 2.2π 360° π 180° ° 3. αR αR2 lR 作业设计 1.A 2.C [r=，l=|α|r=.] 3.A [设扇形半径为r，圆心角为α， 则，解得或.] 4.C [集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上.] 5.D [-π=-2π+， θ=-π.] 6.B [设扇形内切圆半径为r， 则r+=r+2r=a.a=3r，S内切=πr2. S扇形=αr2=××a2=××9r2=πr2. S内切S扇形=23.] 7.-10π+π 解析 -1 485°=-5×360°+315°， -1 485°可以表示为-10π+π. 8.25 解析 216°=216×=，l=α·r=r=30π，r=25. 9.π或π 解析 -π+π=π=π， -π+π=π=π. 10.-，-，， 解析 由题意，角α与终边相同，则+2π=π， -2π=-π，-4π=-π. 11.解 (1)-1 500°=-1 800°+300°=-10π+， -1 500°与π终边相同，是第四象限角. (2)π=2π+π， π与π终边相同，是第四象限角. (3)-4=-2π+(2π-4)， -4与2π-4终边相同，是第二象限角. 12.解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S， 则l+2r=40，l=40-2r. S=lr=×(40-2r)r=20r-r2 =-(r-10)2+100. 当半径r=10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2， 此时θ===2 rad. 当半径为10 cm，圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大面积为100 cm2. 13.4 解析 设圆半径为r，则内接正方形的边长为r，圆弧长为4r. 圆弧所对圆心角|θ|==4. 14.解 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓， α=60°=，R=10，l=αR= (cm). S弓=S扇-S=××10-×102×sin 60° =50 (cm2). (2)扇形周长c=2R+l=2R+αR，α=， S扇=αR2=··R2=(c-2R)R =-R2+cR=-(R-)2+. 当且仅当R=，即α=2时，扇形面积最大，且最大面积是. |
