日志
余数问题不再是公务员考试行测困扰题
|
一、余数关系式和恒等式的应用
余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数（0≤余数＜除数）
余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数
余数的关系式和恒等式比较简单，但余数范围（0≤余数＜除数）是部分题型的解题突破口，需要引起足够的重视。关于余数范围的应用见下文例题：
【例1】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少？（ ）
A.12 B.41 C.67 D.71
【解析】余数是11，因此，根据余数的范围（0≤余数＜除数），我们能够确定除数＞11。除数为整数，所以除数≥12，根据余数的基本恒等式：被除数=除数×商＋余数≥12×商＋余数=12×5＋11=71，因此被除数最小为71，选D。
【例2】有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是？
A. 216 B. 108 C. 314 D. 348
【解析】利用余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然数，于是A可以被5整除，同理，A还可以被6、7整除，因此，A可以表示为5、6、7的公倍数，即210n。由于A、B、C、D的和不超过400，所以A只能等于210，从而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，选C。
二、同余问题
同余问题在公务员考试中比较常见，主要是从除数与余数的关系入手，来求得最终答案。 如：
【例3】一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，请问这个数如何表示？
【解析】设这个数为A，则A除以4余1，除以5余1，除以6余1，那么A－1就可以被4、5、6整除。4、5、6的最小公倍数为60，所以A－1就可以表示为60n，因此，A=60n+1。
结论：如果一个被除数的除数不同，余数相同，那么这个数的通项公式可以表示为几个除数的公倍数加上除数共同的余数。
【例4】一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，请问这个数如何表示？
【解析】设这个数为A，如果A除以4余3，除以5余2，除以6余1，那么会有A=4n1+3，A=5n2+2，A=6n3+1。其中，A=4n1+3=4(n1－1)+4+3=4(n1－1)+7，同理，A=5(n2－1)+7，A= 6(n3－1)+7，根据【例3】的结论，A= 60n+7。
结论：如果一个被除数的除数不同，除数与余数的和相等，那么这个数的通项公式可以表示为几个除数的公倍数加上除数与余数的和。
【例5】一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，请问这个数如何表示？
【解析】设这个数为A，如果A除以4余1，除以5余2，除以6余3，那么会有A=4n1+1，A=5n2+2，A=6n3+3。其中，A=4n1+1=4(n1+1)－4+3=4(n1+1)－1，同理，A=5(n2+1)－1，A= 6(n3+1)－1，根据【例3】的结论，A= 60n－1。
结论：如果一个被除数的除数不同，除数与余数的差相等，那么这个数的通项公式可以表示为几个除数的公倍数减去除数与余数的差。
根据以上三道例题的结论，我们还可以举一反三地解决其他相关问题。如：
【例6】自然数P满足下列条件：P除以10的余数为9，P除以9的余数为8，P除以8的余数为7。如果：100<P<1000，则这样的P有几个?
A.不存在 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】几个除数与对应余数的差相同，均为1，根据【例5】的结论，P=360n－1，由于100<P<1000，所以n取1、2时满足题意，所以，P有2个，选C。
【例7】一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有多少个？
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
【解析】除以5余2，除以4余3，我们知道除数与对应余数的和相同，根据【例4】的结论，这个数可以表示为，P=20n1+7，除以9余7，说明P=9n2+7，再根据【例3】的结论，我们得到这个数可以表示为180n+7，由于这个数为三位数，所以n可以取1、2、3、4、5，所以共5个。
综上所述，考生只需要掌握余数的基本关系式和恒等式、熟悉同余问题的解决方法，清楚对公倍数（或最小公倍数）的求法，再遇到常见的余数问题，就能轻松又快速地解决掉。
