2015年高考数学提分专项训练:不等式与线性规划 一、选择题 1.不等式ax2+bx+2>0的解集是，则a+b的值是( ) A.10 B.-10 C.14 D.-14 答案：D 命题立意：本题考查一元二次不等式与二次方程的关系，难度中等. 解题思路：由题意知ax2+bx+2=0的两个根为-，， -+=-，-×=， a=-12，b=-2， a+b=-14. 2.函数y=ax+3-2(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线+=-1上，且m>0，n>0，则3m+n的最小值为( ) A.13 B.16 C.11+6 D.28 答案：B 解题思路：函数y=ax+3-2的图象恒过A(-3，-1)，由点A在直线+=-1上可得，+=-1，即+=1，故3m+n=(3m+n)×=10+3.因为m>0，n>0，所以+≥2=2，故3m+n=10+3≥10+3×2=16，故选B. 3.已知变量x，y满足约束条件则z=的取值范围为( ) A.[1,2] B. C. D. 答案：B 命题立意：本题是线性规划问题，首先准确作出可行域，然后明确目标函数的几何意义是可行域内的点与点(-1，-1)连线的斜率，最后通过计算求出z的取值范围. 解题思路：由已知约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，其中A(1,1)，B(1,2)，目标函数z=的几何意义为可行域内的点与点P(-1，-1)连线的斜率，kPA=1，kPB=，故选B. 4.设x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0，b>0)的最大值为12，则+的最小值为( ) A. B. C. D.4 答案：B 解题思路：画出不等式组表示的可行域，如图所示. 当直线ax+by=z过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时，取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6. 而+==+≥+2=，故选B. 5.若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值为( ) A.0 B.1 C. D.9 答案：B 解题思路：可行域是由点，(0,1)，(0,0)为边界的三角形区域，z=3x+2y的最小值在m=x+2y取得最小值时取得，m=x+2y在经过(0,0)时取得最小值，即z=3x+2y最小值为30=1，故选B. 6.已知函数f(x)=则不等式f(a2-4)>f(3a)的解集为( ) A.(2,6) B.(-1,4) C.(1,4) D.(-3,5) 答案：B 命题立意：本题以分段函数为载体，考查了函数的单调性以及不等式等知识，考查了数形结合的思想.解题时首先作出函数f(x)的图象，根据图象得到函数的单调性，进而得到不等式的解集. 解题思路：作出函数f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的.由f(a2-4)>f(3a)，可得a2-4<3a，整理得a2-3a-4<0，即(a+1)(a-4)<0，解得-1 7.(呼和浩特第一次统考)已知正项等比数列{an}满足S8=17S4，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为( ) A. B. C. D. 答案：C 命题立意：本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式与均值不等式的综合应用，难度中等. 解题思路：由已知S8=17S4=1+q4=17，又q>0，解得q=2.因为各项均为正项，因此==a1=4a1，整理得2m+n-2=16m+n=6.由均值不等式得+==≥=，当且仅当m=n=3时，取得最小值. 8.定义区间(a，b)，[a，b)，(a，b]，[a，b]的长度均为d=b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，(1,2)[3,5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3.用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中xR.设f(x)=[x]?{x}，g(x)=x-1，当0≤x≤k时，不等式f(x) A.6 B.7 C.8 D.9 答案：B 命题立意：本题考查函数与不等式知识以及对已知信息的理解和迁移能力，难度中等. 解题思路：f(x)=[x]?{x}=[x]?(x-[x])=[x]x-[x]2，由f(x)1，不合题意;当x[1,2)时，[x]=1，不等式为0<0，无解，不合题意;当x≥2时，[x]>1，所以不等式([x]-1)x<[x]2-1等价于x<[x]+1，此时恒成立，所以此时不等式的解为2≤x≤k.因为不等式f(x) 9.设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.8 答案：C 解题思路：作出约束条件的可行域，知(1,1)为所求最优解， zmin=2×1+1=3. 10.设曲线x2-y2=0的两条渐近线与抛物线y2=-4x的准线围成的三角形区域(包含边界)为D，P(x，y)为D内的一个动点，则目标函数z=x-2y+5的最大值为( ) A.4 B.5 C.8 D.12 答案：C 解题思路：由x2-y2=0得曲线为y=±x.抛物线的准线为x=1，所以它们围成的三角形区域为三角形BOC.由z=x-2y+5得y=x+(5-z)，作直线y=x，平移直线y=x，当直线y=x+(5-z)经过点C时，直线y=x+(5-z)的截距最小，此时z最大.由得x=1，y=-1，即C(1，-1)，代入z=x-2y+5得z=8. 二、填空题 11.已知变量x，y满足则u=log4(2x+y+4)+的最大值为________. 答案：2 解题思路：满足的可行域如图中阴影所示， 令z=2x+y+4， 则y=-2x+(z-4). 将虚线上移，得到y=-2x+(z-4)过直线2x-y=0与x-2y+3=0的交点时最大.又即过(1,2)时，zmax=2+2+4=8， 故u=log4(2x+y+4)+的最大值是log48+=log2223+=+=2. 12.已知向量a=(1，-2)，M是平面区域内的动点，O是坐标原点，则a?的最小值是________. 答案：-3 命题立意：本题考查平面向量的数量积运算、简单的线性规划问题，考查学生的作图能力、计算能力，难度中等. 解题思路：作出线性约束条件表示的可行域如图所示， 设可行域内任意点M(x，y)，则=(x，y).因为a=(1，-2)，所以a?=(1，-2)?(x，y)=x-2y.令z=x-2y，则y=-，作出直线y=-，可以发现当其过点(1,2)时，-有最大值，z有最小值.将x=1，y=2代入，得zmin=1-4=-3. 13.设x，y满足约束条件则x2+y2的最大值与最小值之和为______. 答案： 命题立意：本题主要考查二元一次不等式组表示的平面区域及数形结合思想，意在考查考生分析问题、解决问题的能力. 解题思路：作出约束条件 表示的可行域，如图中阴影部分所示. 由图可知x2+y2的最大值在x-2y=-2与3x-2y=3的交点处取得，解得交点坐标为，所以x2+y2的最大值为，最小值是原点到直线x+y=1的距离的平方，即为，故所求的和为. 14.若{(x，y)|x2+y2≤25}，则实数b的取值范围是________. 答案：[0，+∞) 解题思路：如图，若(x，y)x-2y+5≥0,3-x≥0，y≥-x+b非空，(x，y)x-2y+5≥0,3-x≥0，y≥-x+b{(x，y)|x2+y2≤25}，则直线y=-x+b在直线y=-x与直线y=-x+8之间平行移动，故0≤b≤8;若(x，y)x-2y+5≥0,3-x≥0，y≥-x+b为空集，则b>8，故b的取值范围是[0，+∞). 15.若不等式组表示的平面区域的面积为3，则实数a的值是________. 答案： 2 命题立意：本题主要考查线性规划问题，正确画出可行域是解决问题的关键. 解题思路：作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S=×2=3，解得a=2. |
